昨天在论坛上看到有人问模n剩余类群的最大阶的问题,好像有好多人还不明白。我觉得有必要给大家说说,毕竟密码学要用到很多群论的知识。
这些东西比较杂,我也怕我有什么忘了的,因此我会不断更新的。
目录:
1楼:主要的概念
2楼:和密码学有关的一些结论
5楼:循环群
9楼:同态、同构
26楼:陪集、商群、正规子群、单群
置换群
我先介绍一下什么是群。
群是一个代数结构,代数有五大结构:群、环、域、模、格。密码学要用到的估计就是群和域了。
群的定义是:一个集合若定义了一个封闭的运算称为乘法,并且满足下面的几条:
(1)结合律成立。(满足结合律的代数叫结合代数)
(2)有左单位元e存在,e左乘任何元素都不变
(3)有左逆元存在,左逆元与其相乘后是e
这样的集合就是群。
群中元素的个数就是群的阶。有限阶的群叫有限群。这里我说几句废话,别以为有限群就简单,20世纪数学界具有里程碑意义的一个定理:有限单群分类定理,发表在《太平洋数学》上。整整一期就这一篇论文,长达1000多页,作者有100多人。其中给出的最大的一个单群的阶超过10亿。
废话不说了,继续。
有限阶的群叫有限群,密码学就是需要用到有限群和有限域的一些定理。脑子不好使了,刚说到群的阶,现在说群中元素的阶。群的定义中说群中运算是封闭的,那么若将群中任何一个元素自己和自己相乘若干次后必定会变成单位元e的。这个次数叫做这个元素的阶。
群的子群就是群的一个子集,它继承了群的运算,保持乘法封闭,取逆也封闭。
交换群:若对于群中任意两个元素a、b,有ab=ba,就称为交换群,又叫Able群。
- 标 题:群论的一些基础知识
- 作 者:wzb
- 时 间:2011-03-31 08:58:18
- 链 接:http://bbs.pediy.com/showthread.php?t=131611