昨天在论坛上看到有人问模n剩余类群的最大阶的问题，好像有好多人还不明白。我觉得有必要给大家说说，毕竟密码学要用到很多群论的知识。
    这些东西比较杂，我也怕我有什么忘了的，因此我会不断更新的。


目录：
1楼：主要的概念
2楼：和密码学有关的一些结论
5楼：循环群
9楼：同态、同构
26楼：陪集、商群、正规子群、单群
置换群




    我先介绍一下什么是群。
    群是一个代数结构，代数有五大结构：群、环、域、模、格。密码学要用到的估计就是群和域了。
    群的定义是：一个集合若定义了一个封闭的运算称为乘法，并且满足下面的几条：
（1）结合律成立。（满足结合律的代数叫结合代数）
（2）有左单位元e存在，e左乘任何元素都不变
（3）有左逆元存在，左逆元与其相乘后是e
这样的集合就是群。
    群中元素的个数就是群的阶。有限阶的群叫有限群。这里我说几句废话，别以为有限群就简单，20世纪数学界具有里程碑意义的一个定理：有限单群分类定理，发表在《太平洋数学》上。整整一期就这一篇论文，长达1000多页，作者有100多人。其中给出的最大的一个单群的阶超过10亿。
    废话不说了，继续。
    有限阶的群叫有限群，密码学就是需要用到有限群和有限域的一些定理。脑子不好使了，刚说到群的阶，现在说群中元素的阶。群的定义中说群中运算是封闭的，那么若将群中任何一个元素自己和自己相乘若干次后必定会变成单位元e的。这个次数叫做这个元素的阶。
    群的子群就是群的一个子集，它继承了群的运算，保持乘法封闭，取逆也封闭。
    交换群：若对于群中任意两个元素a、b，有ab=ba，就称为交换群，又叫Able群。

一些基本的结论：
    元素的阶整除群的阶
    子群的阶整除群的阶
    模n剩余类群的生成元为1
    模n剩余类群中，若n为素数，则除单位元0外全是生成元，也就是说Zp（p为素数）构成一个域
  n阶循环群同构于模n剩余类群Zn，无限阶循环群同构于整数加群。所以循环群本质上只有两个
  循环群的元素a^r是生成元当且仅当r与n互素，其中n为群的阶

一个群的例子：循环群
    一个群若只有一个生成元就叫循环群。昨天有人问模n剩余类群的元素的阶的问题，现在我就详细的说说。
    首先给出模n剩余类群的定义：n是一个正整数，对于任意一个正整数，被n除后余数会有几种可能，0、1....n-1。所有的这些剩余类所构成的集合叫模n剩余类群。其中的乘法运算定义为：相加后再和n求模。
    举个例子：Z5，模5剩余类群。4与3相乘结果为2
     由于循环群是Able群，其中的运算一般也就写为加法。
   Z5中的生成元：1首先肯定是，2=1+1、3=1+1+1、4=1+1+1+1、0=1+1+1+1+1
    2也是4=2+2、1=2+2+2、3=2+2+2、0=2+2+2+2
   不难发现Z5的生成元是1、2、3、4
   有限阶的循环群和模n剩余类群同构，所以只需分析模n剩余类群就可以获得所有有限阶群得结构，这也是我为什么要举模5剩余类群的例子。
  Zn中的全部生成元：r是元的充分必要条件是r与n互素。
  说了这么多，也不知道我说明白了没有，现在就回答模n剩余类群元素阶的问题，任意一个元素都可以生成这个群的一个子群。子群的阶是要整除n的，而那个元素的阶和生成的子群的阶是一样的，所以不会有元素阶大于n。

同态、同构

论坛的贴子不能写数学公式，说又说不明白，这让我很是为难

先给出定义：称两个群同态，若存在一个映射（称为同态映射）可以保持群的运算。f(ab)=f(a)f(b)
若同态映射是一个双射，称为同构。

举个例子：R是全体实数的加法群，R+是全体正实数的乘法群。定义R到R+的映射f，f(a)=2^a
由于f(a+b)=2^(a+b)=2^a 2^b，所以f保持运算，是一个同态映射。
进一步，f还是双射。从而f是同构。

同构将单位元变为单位元，将逆元变为逆元。

同态的核：群G与H同态，f为其同态映射，e是H的单位元。集合K={g|f(g)=e}为f的核。
说白了，核就是能够被映射f变成单位元的元素。

举个例子：
刚才给出的R到R+的同构映射f的核：R+是全体正实数的乘法群，单位元是1。只有2的0次方才是1，所以f的核只有一个元素：单位元0

这个例子中同构映射f的核是单位元并不是偶然的，只要是同构，核都是单位元。
另外核是单位元可以推出同态是单射。如果已经证明了是满射，那么就可以得出映射是同构。

陪集、商群、正规子群、单群

陪集是一个重要的概念，有左陪集和右陪集。设H是群G的子群，a为G中的一个元素。aH={ah|h为H的元}称为H在G中的左陪集。Ha={ha|h为H的元}称为H在G中的右陪集。

左陪集可以将群划分成若干互不相交的集合，并且各个左陪集的元素相等。这就是拉格朗日定理：G是有限群，H是其子群，则|G|=|H|[G:H]。G：H叫做H在G中的指数。

例子：
这个定理的一个明显的推论是：若G为n阶，a为G的元素，则a^n=e
把这个推论应用到模p单位群Z*p，可以得到费马小定理：
p是素数，a与p互素，则a^(p-1)=1(modp)。（本应是三横的同余符号，打不出来）
模p单位群Z*p是p-1阶的，a与p互素，所以a的模是Z*p的元素，所以a^(p-1)是单位元1。轻松获得了费马小定理，数论中要费多大精啊。


所有的左陪集与右陪集都相等的子集叫正规子群。
例子：
Able群G中任意一个子群H是正规的，由于G是可交换的

商群：H是G的正规子群，则H的所有陪集组成的集合G/H关于陪集的乘法是一个群，称为商群。

几个小结论：
G为群，H是G的正规子群，则
（1）商群G/H的单位元是eH
（2）aH的逆元是
（3）G/H的阶整除G的阶

单群：若一个群只有平凡正规子群，那么就叫它单群。单群是很重要的一种群，因为其他的群是由单群构成的。把单群全部弄清楚了，其他的群就好办了。这就是“若当----赫尔德过程”。其中单群已经全部分类完成，第二步也有了一些成果，像若当----赫尔德定理等。